Объем конуса

Задачи на нахождение объема конуса распространены. Часто с ними сталкиваются и студенты, и школьники. Чтобы уметь его найти, нужно в первую очередь разобраться, что собой представляет эта фигура, а потом понять, по какой формуле находить нужную величину.

Это тело в пространстве, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Визуально люди представляют, как выглядит это фигура, поскольку регулярно встречают ее в повседневной жизни. А вот вычислить его конкретные параметры — гораздо более сложная задача.

Для лучшего понимания темы нужно разобраться в нескольких базовых понятиях:

Образующей называется отрезок, который соединяет любую точку границы основания конуса с его вершиной.

Высотой является перпендикуляр, который опущен из вершины к основанию тела. 

Также нельзя забывать, что нужные нам фигуры бывают разными по видам. Однако в задачах чаще всего надо найти объем прямого конуса. То есть его основание — одна из таких фигур, как эллипс или круг. 

Также встречаются следующие разновидности:

• косой – у него центр фигуры, которая находится в основании, не совпадает с проекцией вершины на это самое основание;
• круговой – отталкиваясь от его названия, можно сделать вывод, что в основании фигуры лежит круг.
• усеченный — область, лежащая между основанием и сечением плоскости, которая параллельна ему и пересекает данное тело.

Однако далее речь пойдет только о прямом варианте. 

Формула 

Этот параметр рассчитывается следующим образом:

V = 1/3*Sосн*h, где:

V — это объем, S — площадь, а h — высота.

Важно! Если знать все параметры, то получится с легкостью рассчитать объем. Однако по условиям задач далеко не всегда известна высота или, например, площадь основания. Их надо вычислять отдельно. Для этого также нужно знать соответствующие формулы.

Так высота определяется, если знать образующую и радиус. Образующая обозначается на письме символом l, а радиус — R. В этом случае высота вычисляется по формуле: l² = h² + R².

Если же нужно вычислить площадь, то это делается так: Sосн​=π⋅R ².

В том случае, если известен только диаметр, то радиус определяется следующим образом: R= ½*D.

Примеры

Приведенную теорию демонстрируется на практике с помощью примеров.

Пример №1

Нужно вычислить V конуса, если его высота равна 8 см, а площадь основания — 51 см.

Таким образом у нас выйдет:

V=51/3*8=136 см.

Пример №2 

Нужно вычислить V, если образующая равна 9 см, а радиус — 5 см.

Получаются следующие расчеты:

l²= h² + R² 

h = √ l² − √R²

h = √ 9² − √5² 

h = √81 − √25

h=√56

h≈7.

Sосн = π* R² 

Sосн = π* 25

Sосн ≈ 78, 5

Таким образом:

V ≈ 78, 5/3*7≈182 см.

Пример №3

Диаметр равен 6 см, высота — 10 см. Нужно найти V.

Эта задача выполняется через нахождение радиуса.

R =6/2=3

Sосн = π* 9

Sосн ≈ 28, 26 см.

V ≈ 9, 42*10

V ≈ 94, 2 см³

По таким схемам вычисляется объем конуса. Если в условиях задачи не указан какой-либо параметр, его можно найти через сторонние формулы в зависимости от уже имеющихся.