Для вычисления производных нужна таблица производных основных элементарных функций, называемых простейшими элементарными функциями и правила вычисления производных. Действительно, любая элементарная функция есть функция полученная из простейших элементарных функций при помощи арифметических операций сложения умножения , возведения в степень и суперпозиции. Поэтому вычисление производных от элементарных функций алгоритмично и при известной сноровке не составляет труда.
Остановимся на правилах вычисления производных. Перечислим их.
Читается так: производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций. При этом число слагаемых функций может быть больше двух.
Пример 1
Найти производную функции
.
Пользуемся правилом суммы и таблицей производных:
.
Дифференцируем одну функцию, другая — без изменения и прибавляем продифференцированную другую умноженную на первую без изменения.
Пример 2
Найти производную функции:
. Имеем
.
Эту формулу нужно просто запомнить.
Пример 3 Найти производную функции:
. Имеем:
Сложная функция или композиция или суперпозиция функций есть функция от функции: 
. Правило дифференцирования сложной функции такое: дифференцируем внешнюю функцию по аргументу 
, а затем функцию 
.
Получаем нашу формулу:
Поясним правило на примере.
Пример 4
Найти производную функции
. Здесь внешняя функция арктангенс, а внутренняя – степенная. Применим правило дифференцирования сложной функции:
.
Отметим еще, что сложная функция может состоять не из двух, а из большего числа функций. Здесь применение правила сложной функции аналогично, просто мы дифференцируем функции поочередно, начиная с внешней функции, так сказать по цепочке. Поэтому само правило дифференцирования сложной функции иногда называют правилом цепочки.
Пример 5 Найти производную функции
.
Здесь цепочка состоит из 5 функций степенной, синуса, опять степенной, затем опять синуса и вновь степенной:
.
