Периметр трапеции

Трапеция. Основные понятия и определения

🤔 Определение

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Основные понятия и определения, связанные с трапецией, включают:

1. Основания трапеции. Две параллельные стороны трапеции называются основаниями. Обычно они обозначаются как верхнее и нижнее основание.
2. Боковые стороны. Две непараллельные стороны трапеции называются боковыми сторонами. Эти стороны могут быть равными, если трапеция равнобокая, или неравными.Высота трапеции. 
3. Высота — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание. Высота измеряет расстояние между основаниями трапеции.Средняя линия трапеции. 
4. Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия параллельна основаниям, а ее длина равна полусумме длин оснований.
5. Равнобокая трапеция. Если боковые стороны трапеции равны между собой, такая трапеция называется равнобокой. В равнобокой трапеции углы при основании равны, а высоты, проведенные из любой точки одного основания на другое, будут одинаковыми.
6. Прямоугольная трапеция. Это трапеция, у которой один из углов при основании является прямым, то есть равен 90 градусам.
7. Площадь трапеции**: Площадь трапеции можно вычислить как произведение средней линии на высоту.

Эти понятия и определения составляют основу для изучения трапеции и решения задач, связанных с этим геометрическим объектом.

Способы нахождения периметра трапеции

Периметром трапеции называется суммарная длина всех ее сторон. Существует несколько путей, по которым можно его найти. Выбор того или иного способа зависит от того, какие величины известны в условии конкретной задачи.

Периметр разносторонней трапеции по четырем сторонам

В том случае, если известны длины всех сторон, искомую величину можно найти, сложив эти длины. Полученное значение будет периметром фигуры.

Периметр равнобокой трапеции по основаниям и боковой стороне

Если в задаче дана равнобедренная трапеция, нам, помимо длин оснований, достаточно знать длину хотя бы одной боковой стороны, поскольку вторая будет ей равна. Тогда периметр можно найти, сложив длины оснований и прибавив к ним удвоенную длину боковой стороны.

Периметр равнобокой трапеции по основаниям и высоте

Обратимся к рисунку.

Фото:Work5

Трапеция ABCD — равнобедренная (сторона AB равна стороне CD). Отрезки BE и CM — высоты четырехугольника. Поскольку основание BC параллельно основанию AD и высота BE параллельна высоте CM, то BCME — прямоугольник, тогда BE = CM (противоположные стороны прямоугольника равны). Тогда прямоугольные треугольники ABE и DCM равны по гипотенузе и катету, значит, отрезок AE равен отрезку MD. Так как BC = EM, то отрезки AE и MD можно найти, как половину разности между длинами AD и BC: AE = MD = (AD - BC) / 2. А затем по теореме Пифагора (квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов) найти длину стороны AB, которая будет равна длине стороны CD: AB^2 = CD^2 = AE^2 + BE^2. Когда известны длины оснований и боковых сторон, найти периметр можно по пути, который был описан ранее.

Периметр трапеции через среднюю линию и боковые стороны

Теперь для получения периметра нам известны длины боковых сторон, но нам предстоит найти сумму длин оснований. Как мы уже вспомнили, средняя линия равна полусумме оснований. Тогда, чтобы найти сумму оснований, нужно лишь удвоить длину средней линии. Периметр мы найдем, если прибавим к найденной сумме длины боковых сторон.

Теперь разберемся, какие формулы для нахождения периметра позволят найти необходимое значение для каждого из представленных способов, и попробуем их применить на практике.

Периметр разносторонней трапеции по четырем сторонам

где

P — периметр трапеции (измеряется в метрах (м), сантиметрах (см), миллиметрах (мм) и т.д.);

a, b, c, d — длины сторон фигуры (измеряются в метрах (м), сантиметрах (см), миллиметрах (мм) и т.д.).

Задача 1: 

Найдите периметр трапеции, основания которой равны 9 и 7, а боковые стороны имеют длины 5 и 8.

Решение:

Подставим данные из условия в формулу.

a = 9; b = 7; c = 5; d = 8.

P = a + b + c + d = 9 + 7 + 5 + 8 = 29.Ответ: P = 29.

Периметр равнобокой трапеции по основаниям и боковой стороне

где

P — периметр трапеции;

a, b — длины оснований;

c — длина боковой стороны.

Задача 2:

Известно, что ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC длиной 25 и 16 соответственно. AB имеет длину 9. Чему будет равен периметр трапеции?

Решение:

Давайте изобразим условие на рисунке:

Фото:Work5

Из условия получаем: a = 25; b = 16; c = 9.

P = a + b + c*2 = 25 + 16 + 9*2 = 59.

Ответ: P = 59.

Периметр равнобокой трапеции по основаниям и высоте

где

P — периметр фигуры;

a — длина большего основания;

b — длина меньшего основания;

h — длина высоты трапеции.

Задача 3:

Чему равен периметр равнобокой трапеции, основания которой равны 19 и 13, а высота — 4?

Решение:

Для начала решим задачу поэтапно. Пусть дан четырехугольник ABCD:

Фото:Work5

Отрезок EM будет равен BC = 13, тогда AE = MD = (AD - BC) / 2 = (19 - 13) / 2 = 3.

По теореме Пифагора находим боковую сторону AB:

AB² = AE² + BE² = 3² + 4² = 25. Тогда AB = 5.

P = 19 + 13 + 5*2 = 42.

Теперь получим ответ с помощью формулы. Из условия: a = 19; b = 13; h = 4.

Подставим значения: P = 19 + 13 + 2*√ (((19 - 13) / 2)²+ 4²) = 32 +2*√ (9+16) = 32 + 2*5 = 42

Итак, мы увидели, каким образом получается ответ по формуле.

Ответ: P = 42.

Периметр трапеции через среднюю линию и боковые стороны

где

P — периметр фигуры;

m — длина средней линии;

c, d — длины боковых сторон.

Задача 4:

Найдите периметр трапеции с боковыми сторонами 7 и 2, если ее средняя линия равняется 4.

Решение:

Представим информацию из условия в удобном для расчета виде:

с = 7; d = 2; m = 4.

P = m*2 + c + d = 4*2 + 7 + 2 = 17.

Ответ: P = 17.

Задачи

Задача 1: 

Найдите периметр трапеции, основания которой равны 15 и 28, а боковые стороны равняются 3 и 2.

Решение:

Подставим данные характеристики в формулу.

a = 15; b = 28; c = 3; d = 2.

P = a + b + c + d = 15 + 28 + 3 + 2 = 48.

Ответ: P = 48.

Задача 2:

Известно, что ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC длиной 25 и 9 соответственно. AB имеет длину 16. Найдите, чему будет равен периметр трапеции.

Решение:

Изобразим условие на рисунке:

Фото:Work5

Из условия получаем: a = 25; b = 9; c = 16.

P = a + b + c*2 = 25 + 9 + 16*2 = 66.

Ответ: P = 66.

Задача 3:

Чему равен периметр равнобокой трапеции, основания которой равны 28 и 20, а высота — 3?

Решение:

Решим задачу поэтапно. Пусть дан четырехугольник ABCD:

Фото:Work5

Отрезок EM будет равен BC = 20, тогда AE = MD = (AD - BC) / 2 = (28 - 20) / 2 = 4.

По теореме Пифагора находим боковую сторону AB:

AB² = AE² + BE² = 4² + 3² = 25. Тогда AB = 5.

P = 28 + 20 + 5*2 = 58.

Теперь получим ответ с помощью формулы. Из условия: a = 28; b = 20; h = 3.

Подставим значения: P = 28 + 20 + 2*√ (((28 - 20) / 2)² + 3²) = 48 +2*√ (16+9) = 48 + 2*5 = 58

Итак, мы получили верный ответ.

Ответ: P = 58.

Задача 4:

Вычислите периметр трапеции с боковыми сторонами 15 и 12, если ее средняя линия составляет 10.

Решение:

Представим информацию из условия в удобном для расчета виде:

с = 15; d = 12; m = 10.

P = m*2 + c + d = 10*2 + 15 + 12 = 47.

Ответ: P = 47.