Основные теоремы о пределах

Вычисление пределов последовательностей и функций – важный элемент математического анализа. В частности, находя производные функций, мы должны находить соответствующие пределы, так как само определение производной заключает в себе предел. В задаче нахождения предела, нам помогают теоремы о пределах. Они формулируются как для функций, так и для последовательностей. Некоторые из них имеют смысл только для последовательностей. Мы сформулируем основные теоремы о пределах без доказательства. Доказательства этих теорем имеются практически во всех учебниках по математическому анализу.Прежде всего сформулируем теоремы о пределах связанные с арифметическими действиями. Пусть при  существуют конечные пределы: и  .  Тогда:

1). Существует предел суммы (разности) функций 

2). Существует предел произведения функций 

3). Существует предел частного (если предел знаменателя не равен 0):  

Мы сформулировали теоремы для функций. Для последовательностей аналогичные теоремы так же имеют место. Пусть пределы последовательностейи  существуют. Тогда существуют пределы суммы произведения и частного для этих последовательностей:

1). 

2). 

3). . В последнем случае требуется, чтобы и 

Следующие теоремы формулируем для последовательностей:

Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Эта теорема непосредственно применяется при выводе второго замечательного предела.

Теорема о зажатой переменной. Пусть последовательности и  имеют общий предел:

И третья последовательность удовлетворяет неравенству . Тогда предел этой последовательности тоже существует и равен: .

Эти теоремы можно сформулировать и для функций, но большого смысла в них нет. Например, теорема о монотонной последовательности пере формулируется для функций так:

Теорема. Пусть для  функция  определена, монотонно возрастает и ограничена. Тогда существует предел этой функции слева в точке  .

К основным теоремам о пределах можно отнести теорему о существовании частичного предела ограниченной последовательности.

Теорема. (Больцано –Вейерштрасса).Из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.

Большое значение имеет теорема о единственности предела:

Теорема о единственности предела. Если последовательность имеет предел, то он один.

Другими словами, последовательность не может иметь более одного предела.

К основным теоремам о пределах относится теорема о предельном переходе в неравенстве.

Теорема. Пусть последовательности и сходятся (то есть имеют пределы) и справедливо неравенство:. Тогда  

Следующая теорема носит название теорема о сохранении знака.

Теорема. Пусть последовательность  имеет положительный предел:  Тогда найдется такой номер, что при  выполняется неравенство .