Предел последовательности

Число называется пределом последовательности  (обозначение ), если для любого  найдется такое натуральное число , что при  выполняется неравенство:   

Последовательности могут не иметь предела. 

Последовательность, имеющая предел , называется бесконечно малой последовательностью или просто бесконечно малой.

Как определить предел последовательности? Во - первых нужно понять существует ли этот предел. Например, у последовательности  (развернутый вид ) предела нет.

Наличие предела может помочь определить критерий Коши:

Критерий Коши. Последовательность  имеет предел тогда и только тогда, когда любого найдется такое натуральное число , что при  выполняется неравенство: .

Используя критерий Коши сформулируем так сказать отрицание этого критерия, то есть условие равносильное отсутствию предела последовательности .

Отрицание критерия Коши. Последовательность не имеет предела тогда и только тогда, когда существует  такое что для любого натурального числа , найдутся такие , что выполняется неравенство: .

Именно последняя формулировка позволяет доказать отсутствие предела последовательности.

Пример 1 

 Показать, что последовательность не имеет предела.
Данная последовательность представляет собой последовательность частичных сумм гармонического ряда. Применим отрицание критерия Коши. Возьмем , а в качестве берем .

Тогда .
Таким образом, данная последовательность не имеет предела.
Имеются несколько теорем помогающих находить предел, или, хотя бы, устанавливать наличие предела. Сначала несколько определений.
Последовательность  назовем

монотонно возрастающей, если для любого  выполняется неравенство ;
монотонно убывающей, если для любого выполняется неравенство;

монотонно невозрастающей, если для любого выполняется неравенство;

монотонно неубывающей, если для любого  выполняется неравенство.

Последовательность любого из перечисленных четырех типов называется монотонной.

Последовательность назовем ограниченной, если существует такая константа , что все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству: .

Теорема 1. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Следующая теорема носит название теоремы о зажатой переменной (иногда называют леммой о двух полицейских):

Теорема 2. Пусть для последовательностей ,  и  выполнено неравенство и пусть. Тогда  тоже существует и равен .
Кроме этих теорем имеются основные теоремы о пределах. Пусть пределы последовательностей и   существуют. Тогда
1). ,
2). ,
3). . В последнем случае требуется, чтобы  и .

Пример 2 Доказать что последовательность  имеет предел.
Последовательность является монотонно убывающей. Кроме того, все ее члены положительны.

Поэтому она ограничена (сверху ограничена своим первым членом, а снизу – нулем). По теореме о монотонной ограниченной последовательности она имеет предел.

Пример 3 Доказать что последовательность имеет предел.
Здесь последовательность монотонно возрастающая. Чтобы показать ее ограниченность рассмотрим логарифм общего члена и воспользуемся неравенством . Имеем: 

Следовательно  для всех и последовательность ограничена. По теореме о монотонной ограниченной последовательности она имеет предел.