Периметр четырехугольника

Что такое периметр четырехугольника

Периметр четырехугольника - это сумма длин всех его сторон. Обозначают периметр обычно буквой P (от лат. perimeter) или русской буквой П.

Четырёхугольник - многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами. Стороны могут быть равными или разными, параллельными или нет. На способ подсчёта периметра это влияет только через то, какие длины известны и какие равенства можно использовать.

Единица измерения периметра - та же, что и у длины стороны: мм, см, м и т. д.

Общая формула периметра

Если стороны четырехугольника равны a, b, c и d, то

P = a + b + c + d.

Формула верна для любого четырёхугольника: выпуклого и невыпуклого, правильного и неправильного, самопересекающегося (в учебных задачах самопересекающиеся фигуры почти не встречаются).

Если стороны заданы как отрезки AB, BC, CD и DA, записывают

P = AB + BC + CD + DA.

Периметр частных видов четырехугольников

Когда у фигуры есть равные или параллельные стороны, общую сумму упрощают.

Квадрат

Все четыре стороны равны: a = a = a = a.

P = 4a.

Ромб

Все стороны равны, как у квадрата, но углы не обязательно прямые.

P = 4a.

Прямоугольник

Противоположные стороны равны: две стороны a и две стороны b.

P = 2(a + b) = 2a + 2b.

Параллелограмм

Противоположные стороны попарно равны.

P = 2(a + b) = 2a + 2b,

где a и b - смежные стороны.

Трапеция

У трапеции параллельны только две стороны (основания). Боковые стороны могут быть разными.

P = a + b + c + d,

где a и b - основания, c и d - боковые стороны.

Если трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: c = d, тогда

P = a + b + 2c.

Прямоугольная трапеция

Одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Периметр по-прежнему считают как сумму четырёх сторон; прямой угол сам по себе длину не "сокращает", он помогает находить неизвестную сторону через теорему Пифагора или свойства высот.

Дельтоид (воздушный змей)

Две пары смежных сторон равны: a = b и c = d (или иначе, в зависимости от расположения).

P = 2a + 2c.

Четырёхугольник, описанный около окружности

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:

a + c = b + d.

Тогда периметр

P = 2(a + c) = 2(b + d).

Это удобно в задачах, где известны две стороны и периметр (или полупериметр) и нужно найти остальные.

Полупериметр обозначают p (или s):

p = P / 2.

Для описанного четырёхугольника p = a + c = b + d.

Четырёхугольник, вписанный в окружность

Если около четырёхугольника описана окружность, сумма противоположных углов равна 180°. На формулу периметра это напрямую не влияет: P по-прежнему равен сумме сторон. Свойство используют, когда длины сторон находят через тригонометрию, подобные треугольники или теорему Птолемея - но сам периметр считают после того, как стороны уже известны.

Как найти периметр: пошаговый алгоритм

• Определите вид четырехугольника (квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм, трапеция, произвольный).
• Выпишите все известные длины сторон.
• Если какая-то сторона не дана, найдите её по условию: равенство сторон, свойства параллелограмма, теорема Пифагора, подобие, пропорции, свойство описанного четырёхугольника и т. д.
• Подставьте длины в подходящую формулу (общую или упрощённую).
• Выполните сложение и укажите единицу измерения.
• Проверьте: число сторон в сумме должно быть четыре (с учётом множителей вроде 2a + 2b); единицы измерения у всех слагаемых одинаковы.

Примеры решения

Пример 1. Произвольный четырёхугольник

Дано: стороны 7 см, 5 см, 9 см и 3 см. Найти периметр.

Решение:

P = 7 + 5 + 9 + 3 = 24 см.

Ответ: 24 см.

Пример 2. Прямоугольник

Дано: длина 12 м, ширина 5 м. Найти периметр.

Решение:

P = 2(12 + 5) = 2 · 17 = 34 м.

Ответ: 34 м.

Пример 3. Ромб

Дано: сторона ромба равна 8 дм. Найти периметр.

Решение:

P = 4 · 8 = 32 дм.

Ответ: 32 дм.

Пример 4. Равнобедренная трапеция

Дано: основания 10 см и 16 см, боковая сторона 5 см. Найти периметр.

Решение:

P = 10 + 16 + 2 · 5 = 26 + 10 = 36 см.

Ответ: 36 см.

Пример 5. Описанный четырёхугольник

Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 24. Две его стороны равны 5 и 6. Найти большую из оставшихся сторон.

Решение:

Для описанного четырёхугольника a + c = b + d = P / 2 = 12.

Пусть известные стороны - соседние или противоположные; в любом допустимом расположении суммы противоположных пар равны 12.

Обозначим неизвестные стороны x и y. Тогда одна из пар противоположных сторон в сумме даёт 12, и

x + y = 12

(если 5 и 6 - противоположные, то 5 + 6 = 11 ≠ 12, значит 5 и 6 не могут быть противоположными; они смежные).

Тогда, например, 5 + x = 6 + y = 12.

Отсюда x = 12 - 5 = 7, y = 12 - 6 = 6.

Но y = 6 совпадает с уже данной стороной; проверим другую группировку смежных:

5 + y = 6 + x = 12 → y = 7, x = 6.

В обоих согласованных вариантах неизвестные стороны равны 7 и 6. Большая из оставшихся - 7.

(Если в условии "оставшееся" понимают как две неизвестные из четырёх, большая равна 7.)

Ответ: 7.

Пример 6. Сторону находят через Пифагора

Дан прямоугольный четырёхугольник (прямоугольник), у которого диагональ 13 см, одна сторона 5 см. Найти периметр.

Решение:

Вторая сторона по теореме Пифагора:

b = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.

P = 2(5 + 12) = 34 см.

Ответ: 34 см.

Типичные ошибки

• Складывают только три стороны или забывают одну из равных сторон у прямоугольника и параллелограмма.
• Для квадрата и ромба пишут P = a² - это площадь квадрата, не периметр.
• Для прямоугольника путают P = 2(a + b) с площадью S = a · b.
• Складывают длины в разных единицах (см и м) без перевода.
• В трапеции считают, что боковые стороны всегда равны - это верно только для равнобедренной трапеции.
• В задаче про описанный четырёхугольник используют равенство сторон вместо равенства сумм противоположных сторон.
• Берут "периметр" как сумму оснований или как полупериметр и забывают умножить на 2, когда в ответе нужен полный периметр.

Краткая шпаргалка формул

| Фигура | Формула периметра |
| --- | --- |
| Произвольный четырёхугольник | P = a + b + c + d |
| Квадрат | P = 4a |
| Ромб | P = 4a |
| Прямоугольник | P = 2(a + b) |
| Параллелограмм | P = 2(a + b) |
| Равнобедренная трапеция | P = a + b + 2c |
| Описанный четырёхугольник | P = 2(a + c) = 2(b + d) |

Что запомнить

Периметр любого четырехугольника - сумма четырёх сторон. Частные формулы лишь сокращают запись за счёт равных сторон. Если сторона неизвестна, сначала находят её по геометрическим свойствам фигуры, затем подставляют в сумму. В задачах ЕГЭ и ОГЭ часто встречаются описанные четырёхугольники и равнобедренные трапеции - для них полезно сразу выписывать равенство сумм противоположных сторон или равенство боковых сторон.

Связанные темы

• Площадь четырехугольника
• Периметр треугольника и многоугольника
• Свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, трапеции
• Вписанная и описанная окружности
• Теорема Пифагора в прямоугольных фигурах