Интегрирование иррациональностей

Под иррациональностями понимаются дробные степени многочленов. Простейшие иррациональности такие:  . Практически это все иррациональности, которые интегрируются в конечном виде.  

Если же под интегралом эти иррациональности как то скомбинированы, например, перемножены:

 то интеграл не берется. Рассмотрим способы интегрирования. Отметим, что все интегралы от иррациональностей берутся подстановками. Цель этих подстановок - привести подынтегральное выражение к рациональной функции. 

1. Интегралы вида  , где  - рациональная функция, а - целые числа, следует находить подстановкой: , где  - наименьшее общее кратное чисел  

Пример 1 Найти неопределенный интеграл: 

Сделаем подстановку   Тогда  и мы получим:

 

Осталось вернуться к исходным переменным, то есть к :  

Пример 2 Найти неопределенный интеграл: 

Сделаем соответствующую замену:

Далее интегрируя рациональную функцию (выкладки опустим) получаем окончательный ответ: , где 

1. Для интегралов вида  можно применять подстановки Эйлера, но их стараются не делать, так как они приводят к громоздким выкладкам. Подстановки Эйлера следующие:  
2. Интегралы вида    решают, используя метод неопределенных коэффициентов. Полагают

  ,

а коэффициенты многочлена  и число  находят дифференцированием обеих частей равенства и приравниванием коэффициентов при подобных членах слева и справа.

3. Интегралы вида    находят заменой    

Пример 3 Найти интеграл .

Сделаем требуемую замену: 

 где

Пример 4 Найти интеграл . Здесь, чтобы избавиться от иррациональностей сделаем замену . Имеем:

Раскладываем подынтегральное выражение на простые дроби (выкладки опускаем):

 

  Теперь интегрируем:  

 

, где .