Что называют наибольшим и наименьшим значением функции
Пусть функция $y = f(x)$ задана на множестве $D$.
Наибольшее значение функции на $D$ - это число $M$, для которого:
- существует точка $x_0 \in D$, такая что $f(x_0) = M$;
- для всех $x \in D$ выполняется $f(x) \leqslant M$.
Обозначают: $M = \max\limits_{x \in D} f(x)$.
Наименьшее значение функции на $D$ - это число $m$, для которого:
- существует точка $x_1 \in D$, такая что $f(x_1) = m$;
- для всех $x \in D$ выполняется $f(x) \geqslant m$.
Обозначают: $m = \min\limits_{x \in D} f(x)$.
Иными словами, это самое большое и самое малое из всех значений, которые функция действительно принимает на заданном множестве.
Чем наибольшее и наименьшее значения отличаются от экстремумов
Локальный максимум и локальный минимум - это экстремумы: значения в критических точках, где функция "поворачивает" на небольшом промежутке.
Наибольшее и наименьшее значения - глобальные характеристики на всём рассматриваемом множестве.
Важные отличия:
- экстремум сравнивают с соседними точками; наибольшее и наименьшее - со всеми точками множества;
- экстремумов может быть несколько, а наибольшее (наименьшее) значение на множестве - одно, если оно существует;
- наибольшее значение может достигаться на конце отрезка, даже если там нет экстремума;
- локальный максимум не обязан быть наибольшим значением на всём промежутке.
Пример: у функции $f(x) = x^3 - 3x$ на отрезке $[-2; 2]$ есть локальный максимум в точке $x = -1$ и локальный минимум в точке $x = 1$, но наибольшее и наименьшее значения нужно искать среди значений в критических точках и на концах отрезка.
Когда наибольшее и наименьшее значения существуют
По теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке $[a; b]$ функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.
На открытом промежутке, луче или всей числовой прямой непрерывная функция не всегда имеет наибольшее или наименьшее значение. Например, $f(x) = x$ на $(0; 1)$ не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Поэтому сначала уточняют область, на которой ищут значения: отрезок, промежуток или вся область определения.
Как найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке
Пусть $f(x)$ непрерывна на $[a; b]$ и дифференцируема на $(a; b)$, кроме, возможно, конечного числа точек.
Алгоритм
- Найти производную $f'(x)$.
- Найти критические точки на интервале $(a; b)$: решить $f'(x) = 0$ и отметить точки, где производная не существует, но функция определена.
- Оставить только те критические точки, которые принадлежат отрезку $[a; b]$.
- Вычислить значения функции:
- в отобранных критических точках;
- на концах отрезка: $f(a)$ и $f(b)$.
- Среди полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Именно сравнение всех этих значений даёт ответ. Одних экстремумов недостаточно.
Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ на отрезке $[-2; 4]$.
Решение
- $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$.
- $3x^2 - 6x - 9 = 0$ → $x^2 - 2x - 3 = 0$ → $x = -1$, $x = 3$.
- Обе точки лежат на $[-2; 4]$.
- Вычисляем:
- $f(-2) = -8 - 12 + 18 + 5 = 3$;
- $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$;
- $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$;
- $f(4) = 64 - 48 - 36 + 5 = -15$.
- Среди чисел $3$, $10$, $-22$, $-15$:
- наибольшее значение: $10$;
- наименьшее значение: $-22$.
Ответ: $\max = 10$, $\min = -22$.
Пример 2
Найти наибольшее и наименьшее значения $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ на $[-2; 1]$.
Решение
Область определения: $4 - x^2 \geqslant 0$ → $x \in [-2; 2]$, отрезок $[-2; 1]$ лежит внутри неё.
- $f'(x) = \dfrac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}$ при $x \in (-2; 2)$.
- $f'(x) = 0$ при $x = 0$; в точках $x = \pm 2$ производная не существует в обычном смысле (концы области), но $x = -2$ - конец нашего отрезка.
- Критическая точка внутри отрезка: $x = 0$.
- Значения:
- $f(-2) = 0$;
- $f(0) = 2$;
- $f(1) = \sqrt{3}$.
- Наибольшее значение: $2$; наименьшее: $0$.
Ответ: $\max = 2$, $\min = 0$.
Как искать значения на области определения или на незамкнутом промежутке
Если множество не является отрезком, алгоритм меняется.
Общий порядок действий
- Найти область определения $D(f)$.
- Найти производную и критические точки внутри $D(f)$.
- Исследовать поведение функции:
- в критических точках;
- на границах области определения (в том числе односторонние пределы);
- при $x \to \pm \infty$, если область неограничена.
- Сравнить конечные значения, которые функция принимает. Пределы на бесконечности или на выколотой границе - это не значения функции, если точка не входит в область.
- Сделать вывод: достигаются ли наибольшее и наименьшее значения, и чему они равны.
Пример 3
Найти наибольшее и наименьшее значения $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ на $\mathbb{R}$.
Решение
- $D(f) = \mathbb{R}$.
- $f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.
- $f'(x) = 0$ → $x = \pm 1$.
- $f(1) = \dfrac{1}{2}$, $f(-1) = -\dfrac{1}{2}$.
- $\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$.
Функция непрерывна всюду, при $x \to \pm \infty$ стремится к $0$, а в точках $x = 1$ и $x = -1$ принимает $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$. Значит:
- наибольшее значение: $\dfrac{1}{2}$;
- наименьшее значение: $-\dfrac{1}{2}$.
Ответ: $\max = \dfrac{1}{2}$, $\min = -\dfrac{1}{2}$.
Пример 4
Исследовать, есть ли наибольшее и наименьшее значения у $f(x) = \ln x$ на $(0; e]$.
Решение
$f'(x) = \dfrac{1}{x} > 0$ на $(0; e]$, функция возрастает.
- $f(e) = 1$ - это наибольшее значение;
- $\lim\limits_{x \to 0+} \ln x = -\infty$, наименьшего значения нет.
Ответ: $\max = 1$, наименьшего значения нет.
Частые приёмы и частные случаи
Функция монотонна на отрезке
Если $f'(x) > 0$ на $(a; b)$, то на $[a; b]$:
- наименьшее значение - $f(a)$;
- наибольшее - $f(b)$.
Если $f'(x) < 0$, наоборот: наибольшее на левом конце, наименьшее - на правом.
Квадратичная функция на отрезке
Для $f(x) = ax^2 + bx + c$ вершина параболы $x_v = -\dfrac{b}{2a}$.
- если $x_v \in [a; b]$, сравнивают $f(x_v)$, $f(a)$, $f(b)$;
- если $x_v \notin [a; b]$, достаточно сравнить значения на концах.
Задачи с параметром и прикладные задачи
В текстовых задачах (площадь, объём, стоимость) сначала составляют функцию одной переменной, находят её область допустимых значений - часто это отрезок или промежуток - и затем применяют тот же алгоритм.
Типичные ошибки
- Сравнивают только экстремумы и забывают концы отрезка.
- Путают экстремум с наибольшим значением. Локальный максимум может быть меньше значения на конце.
- Включают посторонние критические точки, которые не принадлежат промежутку.
- Считают предел значением функции. Если точка не входит в область, значение там не достигается.
- Не проверяют точки, где производная не существует (изломы, "острия", точки вида $\sqrt[3]{x^2}$ и т. п.).
- Не уточняют множество. Ответ "наибольшее значение равно ..." без указания промежутка неполон.
Краткий чек-лист перед ответом
- Указано ли множество, на котором ищут значения.
- Непрерывна ли функция на этом множестве.
- Найдены ли все критические точки внутри промежутка.
- Посчитаны ли значения на концах (для отрезка).
- Проверено ли поведение на границах и на бесконечности (для незамкнутых множеств).
- Выбраны ли именно наибольшее и наименьшее среди достигнутых значений.
Краткие формулы и обозначения
На отрезке $[a; b]$ для непрерывной $f$:
$$
\max_{[a;b]} f = \max\{f(x_1), \ldots, f(x_k), f(a), f(b)\},
$$
$$
\min_{[a;b]} f = \min\{f(x_1), \ldots, f(x_k), f(a), f(b)\},
$$
где $x_1, \ldots, x_k$ - критические точки на $(a; b)$.
Связь с экстремумами:
- если наибольшее значение достигается во внутренней точке, это точка глобального максимума;
- на конце отрезка наибольшее значение может достигаться без экстремума в классическом смысле.
Что запомнить
Наибольшее и наименьшее значения функции - это крайние из достигнутых значений на заданном множестве. На отрезке у непрерывной функции они всегда существуют и находятся сравнением значений в критических точках и на концах. На открытых и неограниченных множествах сначала проверяют, достигаются ли эти значения, и только потом записывают ответ.
