Решение смешанной задачи для нестационарного двумерного уравнения теплопроводности методом конечных элементов__________________________________

В настоящее время человечество уделяет все большее внимание процессу научного познания и ускорению технического прогресса. Это приводит к целенаправленной необходимости анализа сложных процессов и систем с точки зрения их структуры, организации и функционирования. И одна и главных ролей здесь отводится математическому моделированию, как мощному инструменту исследования. Универсальность математических моделей позволяет легко переходить к исследованию новых процессов и явлений. А современные вычислительные алгоритмы позволяют получать с помощью компьютеров приближенные решения сложных задач с заданной точностью и в требуемое время.

---

Студентам интересна цена курсовой работы по информационным технологиям. Для того чтобы рассчитать стоимость курсовой работы, заполняйте форму заказа.

---

. Значительное количество задач физики и технических наук приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнениям математической физики). Это задачи теории упругости, пластичности, дифракции, акустики, задачи распространения тепла, электромагнитных волн в волноводах и многие другие. При этом для стационарных процессов задаются граничные условия, а для нестационарных – еще и начальные условия. Нахождение их точного аналитического решения зачастую возможно лишь для весьма ограниченного круга, как правило, одномерных задач при использовании целого ряда допущений, негативно отражающихся на адекватности полученных результатов. Поэтому для решения задач математической физики в случае нескольких измерений возникает необходимость использования численных методов, позволяющих преобразовывать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Данная курсовая работа посвящена изучению численных методов решения краевых задач для базовых уравнений математической физики(в качестве таковых при рассмотрении уравнений второго порядка выделяют эллиптические, параболические и гиперболические уравнения), особенностям задания граничных и начальных условий, методам дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных, а также методологии решения подобных задач и моделирования с применением приложения PDETool/PDE Modeler пакета программ автоматизации вычислений Matlab. Основное внимание в работе уделено смешанной краевой задаче для нестационарного двумерного уравнения теплопроводности, дается ее формулировка и основные этапы решения методом конечных элементов, включая формирование заданной области, граничных условий, сетки разбиения, оценку погрешности и графическую визуализацию полученного приближенного результата. Целью данной курсовой работы является расширение знаний о методологии решения уравнений математической физики и моделирования физических процессов с использованием современных прикладных программ. Достижение поставленной цели требует выполнения следующих основных задач: - закрепить пройденный лекционный материал; - проработать учебную и тематическую литературу; - систематизировать полученную информацию; - выполнить практическое задание на ЭВМ. Работа в силу разнообразия сфер применения актуальна не только для студентов и специалистов прикладной математики, но и для широкого круга ученых, технологов и инженеров.  

Точные решения краевых задач для уравнений математической физики удается получить только в редких случаях. Поэтому для построения математических моделей с их использованием в основном применяются численные методы и эти задачи решают в основном приближенно. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближенного решения уравнений математической физики, является метод конечных элементов. Его использование значительно упрощается наличем современных приложений таких как PDETool/PDE Modeler. Набор инструментов PDETool/PDE Modeler пакета прикладных программ Matlab охватывает достаточно широкий спектр задач, среди которых: плоская задача теории упругости, стационарная и нестационарная задачи инженерных и научных расчетов теплопроводности, неравномерного нагрева и диффузии, задачи электростатики и магнитостатики задач деформации и нагружения частей механических конструкций, устойчивости элементов сооружений к различным воздействиям. Имеется возможность задания эллиптических, параболических и гиперболических уравнений и систем уравнений, решения задач на собственные значения и задач, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Применение этого набора позволяет получить решение задач с достаточной точностью в удобном для пользователя виде. В процессе выполнения данной работы в соответствии с ее целями и задачами были рассмотрены следующие вопросы: 1) Сформулирована постановка тестовой задачи, имеющей аналитическое решение ua(t,x,y). В качестве точного решения взята функция u(t,x,y)=x^2+y^2+t^2. Проведены расчёты и определены соответствующие начально-краевые условия задачи, а также функция f(t,x,y), отличная от нуля. Используя метод конечных элементов, найдено решение начально-краевой задачи. Произведено сравнение точного решения с численным u ̃(t,x,y) в сечениях y=0 и x=0 при t=5. Кроме того, построена поверхность u=u(T,x,y) и графики u=u(T,x,0), u=u(T,0,y). Значения невязок между точным и численным решениями в рассматриваемой области имеют порядок 1e-4. Построены двумерный и трёхмерный графики найденной функции u(T,x,y) и графики вдоль осей x и y. 2) Сформулирована постановка заданной практической задачи. При помощи метода конечных элементов найдено ее численное решение u ̃(t,x,y) в сечениях y=0 и x=0 при t=5. Построены двумерный и трёхмерный графики найденной функции u(T,x,y) и графики вдоль осей x и y. Можно констатировать, что поставленные цели и задачи курсовой работы выполнены. Полученные знания, навыки и опыт будут полезны по специальности в дальнейшем при решения сложных задач математического моделирования различных физических процессов и явлений.  

1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы. СПб.: Лань, 2014. — 672 с. 2. Дьяконов В. П. MATLAB. Полный самоучитель. — М.: ДМК Пресс, 2012. —768 с. 3. Калиткин Н. Н., Корякин П. В. Методы математической физики. — М.: Academia, 2013. — 304 с. 4. Кошляков Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. — М.: Физматгиз, 1962. — 767 с. 5. Мэтьюз Д. Г., Финк К. Д. Численные методы. Использование MATLAB. 3-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. — 720 с. 6. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М.: Мир, 1981. — 304 с. (Перевод с английского. D.H. Norrie and G. de Vries. An Introduction to Finite Element Analysis. New York, San Francisco, London: Academic Press, 1978.). 7. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 2004. — 798 с. 8. Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. — М.: Физматлит, 2004. — 400 с. 9. Шмелев В. Е. MatLab. Partial Differential Equations Toolbox, 2015. сайт «Exponenta.ru». [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/pde/book1/ (дата обращения 03.08.2022) 10. Эйдельман С. Д. Параболические системы. — М.: Наука, 1964. — 400 с.