Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Метод рядов

Дифференциальные уравнения широко применяются в математических моделях, используемых в различных областях науки и техники. Не все виды дифференциальных уравнений могут быть решены аналитически. Также во многих случаях аналитические решения оказываются очень сложными и неудобными для применения. В таких случаях применяются численные методы.

---

Поторопитесь заказать решение задач в Воронеже , пока нет дедлайнов.

---

Одним из наиболее часто применяемых методов является метод рядов. В связи с этим представляет актуальность изучение данного метода и его применение для решения дифференциальных уравнений. Метод рядов используется для решения задачи Коши. Задача Коши состоит в нахождении решения уравнения с заданными начальными условиями. Дифференциальный уравнения исследовали Эйлер и Лагранж. Лиувилль доказал неразрешимость некоторых видов уравнений в элементарных функциях. В связи с этим возникла необходимость создания новых методов решения дифференциальных уравнений. Цель работы – применение метода рядов при решении дифференциальных уравнений. Задачи работы – дать определение дифференциальных уравнений и задачи Коши, описать метод рядов, показать практическое применение данного метода.

В данной работе рассмотрен метод рядов. Данный метод позволяет решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Многие дифференциальные уравнения не имеют аналитического решения. Также бывают случаи, когда аналитические решения неудобны для практического использования. В таких случаях используют численные методы, одним из которых и является метод рядов. Этот метод позволяет получить решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда. В данной работе показано применение метода рядов на примере уравнения Риккати, которое в общем случае не имеет точного решения. Метод рядов позволяет найти решение с любой точностью. Основной недостаток метода рядов состоит в том, что степенной ряд сходится только на некотором интервале. Но поскольку при дифференцировании радиус сходимости не меняется, решение оказывается аналитической функцией.

1. Босс, В. Лекции по математике: Дифференциальные уравнения / В. Босс. - М.: Ленанд, 2019. - 208 c. 2. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. – М.: УРСС, 2002. – 256 с. 3. Треногин В.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 312 с. 4. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям: — М.: Интеграл-Пресс, 1998. — 208 с. 5. Харасова Л.С., Якупова Г.А. Дифференциальные уравнения: Учебно-методическое пособие для практических занятий и самостоятельной работы студентов Высшей инженерной школы – Набережные Челны: Изд-во: НЧИ К(П)ФУ, 2018. – 62с.