Определение
Конъюнкция, также известная как логическое умножение, представляет собой операцию, которая принимает два логических высказывания и возвращает истинное значение только в том случае, если оба исходных высказывания истинны. В теории множеств конъюнкция соответствует операции пересечения.
Символическое обозначение конъюнкции: ∧ (логическое «И»).
Пример
A: Небо голубое.
B: Трава зеленая.
A ∧ B: Небо голубое, и трава зеленая.
Определение
Дизъюнкция, или логическое сложение, представляет собой операцию, которая принимает два логических высказывания и возвращает истинное значение, если хотя бы одно из исходных высказываний истинно. В теории множеств дизъюнкция соответствует операции объединения.
Символическое обозначение дизъюнкции: ∨ (логическое «ИЛИ»).
Пример
A: Яблоко красное.
B: Яблоко зеленое.
A ∨ B: Яблоко красное или зеленое.
Определение
Отрицание, также известное как логическое отрицание или инверсия, представляет собой операцию, которая принимает одно логическое высказывание и возвращает противоположное значение. В теории множеств отрицание соответствует операции дополнения.
Символическое обозначение отрицания: ¬ (логическое «НЕ»).
Пример
A: Солнце светит.
¬A: Солнце не светит.
Определение
Импликация, также называемая логическим следствием, представляет собой операцию, которая принимает два логических высказывания и возвращает истинное значение, если первое высказывание ложно или второе высказывание истинно (или оба высказывания истинны).
Символическое обозначение импликации: → (логическое «ЕСЛИ..., ТО...»).
Пример
A: Идет дождь.
B: Земля мокрая.
A → B: Если идет дождь, то земля мокрая.
Определение
Эквивалентность, также называемая логической эквивалентностью, представляет собой операцию, которая принимает два логических высказывания и возвращает истинное значение, если оба высказывания имеют одинаковое логическое значение (оба истинны или оба ложны).
Символическое обозначение эквивалентности: ↔ (логическое «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА»).
Пример
A: Число четное.
B: Число делится на 2 без остатка.
A ↔ B: Число четное тогда и только тогда, когда оно делится на 2 без остатка.
Определение
Строгая дизъюнкция, также известная как сложение по модулю 2, представляет собой операцию, которая принимает два логических высказывания и возвращает истинное значение, если только одно из высказываний истинно, но не оба.
Символическое обозначение строгой дизъюнкции: ⊕ (логическое «ИЛИ ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ»).
Пример
A: Число четное.
B: Число нечетное.
A ⊕ B: Число четное или нечетное, но не оба.
Определение
Стрелка Пирса представляет собой операцию, которая принимает два логических высказывания и возвращает истинное значение, если оба высказывания имеют одинаковое логическое значение (оба истинны или оба ложны), или если второе высказывание ложно.
Символическое обозначение стрелки Пирса: ↓
Пример
A: Яблоко красное.
B: Яблоко зеленое.
A ↓ B: Яблоко либо красное, либо зеленое, но не оба сразу.
Определение
Штрих Шеффера представляет собой операцию, которая принимает два логических высказывания и возвращает ложное значение, если оба высказывания истинны, и истинное значение в остальных случаях.
Символическое обозначение штриха Шеффера: |
Пример
A: Небо голубое.
B: Трава зеленая.
A | B: Ложно, если небо голубое и трава зеленая, и истинно в остальных случаях.
При работе со сложными логическими выражениями, содержащими несколько логических операций, существует определенный порядок выполнения этих операций. При этом в большинстве логических задач используются только пять основных операций. Строгая дизъюнкция, стрелка Пирса и штрих Шеффера относятся к более специальным случаям.
Обычно порядок следующий:
Если в выражении присутствуют скобки, то операции внутри скобок выполняются первыми, а затем следуют операции в соответствии с указанным порядком.
Пример
Пусть A, B, C — логические высказывания. Рассмотрим следующую формулу:
¬A ∧ (B ∨ C) → A ↔ ¬BПорядок выполнения операций:
1. Вычисляется ¬A
2. Вычисляется B ∨ C (внутри скобок)
3. Вычисляется ¬A ∧ (B ∨ C)
4. Вычисляется ¬B
5. Вычисляется A ↔ ¬B
6. Вычисляется (¬A ∧ (B ∨ C)) → (A ↔ ¬B)
Логические операции обладают определенными свойствами, которые позволяют упрощать и преобразовывать логические выражения. Вот некоторые из них:
Определение
Коммутативность — это свойство математических операций, при котором изменение порядка операндов не влияет на результат. Например, в сложении 2 + 3 равно 3 + 2, что демонстрирует коммутативность операции сложения.
Конъюнкция и дизъюнкция являются коммутативными операциями, то есть порядок операндов не влияет на результат.
Формула
A ∧ B = B ∧ A
A ∨ B = B ∨ A
Определение
Ассоциативность — это свойство математических операций, при котором изменение порядка выполнения операций не влияет на результат. Например, в выражении (2 + 3) + 4 равен (3 + 4) + 2, что демонстрирует ассоциативность операции сложения.
Конъюнкция и дизъюнкция являются ассоциативными операциями, то есть группировка операндов не влияет на результат.
Формула
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)
(A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C)
Определение
Дистрибутивность — это свойство математических операций, при котором одна операция распределена над другими операциями с сохранением результата. Например, умножение распределено над сложением в выражении a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
Конъюнкция и дизъюнкция распределительны относительно друг друга.
Формула
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
Совет
Эти свойства позволяют упрощать и преобразовывать логические выражения, что часто бывает полезно в различных областях, таких как математика или информатика.
Понимание логических операций и их свойств имеет важное значение в различных областях, таких как математика, информатика, электроника и логические системы. Они позволяют выполнять различные операции над логическими высказываниями или множествами, создавая новые логические высказывания или множества в соответствии с определенными правилами. Знание этих операций и их свойств также помогает упрощать и преобразовывать логические выражения, что часто требуется в различных задачах и приложениях.
