В наше время люди, которые занимаются математикой на уровне как профессионала, так и любителя, обязательно в своей практике решения задач не только слышал о диофантовом уравнении, о диофантовом анализе в целом, а й использовал элементы данного анализа на практике. В последние тридцатилетье использование данной области науки стало «модным» из-за близости к алгебраической геометрии, которая является властительницей мыслей современных математиков-практиков. Но о самом Диофанте, мало что известно. О его работах даже историки науки имеют самое превратное представление.
Понадобилась контрольная работа срочно на заказ в спб ? Обратитесь в Work5.
. Большинство из ученых, которые изучали жизненный путь и труды Диофанта считают, что Диофант занимался разработкой решений отдельного вида задач, которые были равносильными неопределенным уравнениям, применяя при этом хитроумные, но все-таки частные методы.
Но вместе с тем простейший разбор диофантовых задач показал, что Диофантом не только было поставлено проблему по решению неопределенного уравнения в рациональных числах, но и им же было разработано некоторые общие методы для его решения. При этом надо иметь в виду, что античная математика никогда не излагала общие методы решения «в чистом виде», отдельно от решаемой задачи.
Теория по решению подобного рода уравнений считается классическим разделом в элементарной математике.
Отметим то, что любую конкретную задачу в целых числах можно решить при помощи различных методов.
В связи с вышесказанным, тема «Диофантовые уравнения», является очень актуальной для современного отечественного математического образования. Очень важен этот раздел и потому, что в последние годы диофантовые уравнения разных видов входят в базу задач типа С6 Единого Государственного Экзамена с математики Российской Федерации.
Объект исследования: диофантовые уравнения.
Предмет исследования: методы решения диофантовых уравнений.
Целью работы является: изучение методов решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.
Задачи:
- Изучить методическую литературу по данной теме;
- Рассмотреть основные приемы и методы решения уравнений в целых числах;
- Рассмотреть применение диофантовых уравнений к решению задач.
Глава 1. Теоретические сведения о решении уравнений в целых числах
1.1.Диофантовы уравнения
Определение 1: Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или система таких уравнений, имеющие целые коэффициенты, решение которых осуществляется в целых или рациональных числах[2].
Задачи диофантовой «Арифметики» можно решить при помощи уравнений, но само решение уравнения относятся больше к алгебре, чем к арифметике, и они имеют ряд особенностей:
Их можно сводить к уравнению или же системе уравнений, которые имеют целочисленные коэффициенты. Обычно, в такую систему входит меньше уравнений, чем неизвестных.
В самом решении требуют находить лишь целые, зачастую натуральные числа.
Для решения решении уравнения в целых и натуральных числах выделим такие методы:
способ перебора вариантов решения;
использование алгоритма Евклида;
использование метода цепных дробей;
использование метода разложения на множители;
решить уравнение в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной;
использование метода остатков;
использование метода бесконечного спуска.
Для того, чтобы рассмотреть основные методы для решения данного типа уравнений изучим основные определения, леммы и теоремы.
Определение 2: Пару целых чисел (a, b) называют решением диофантового уравнения с двумя переменными, если при замене x на a и y на b получаем истинное равенство[6].
Определение 3: Два уравнения с двумя переменными, которые имеют одни и те же решения называют равносильными.
Пример, равносильны уравнения x 2y = 5 и 9x 18y = 45 каждая пара чисел, которая удовлетворяет одному из этих данных уравнений, будет удовлетворять и второе уравнение.
Уравнение с двумя переменными имеет все те же свойства, которые имеет уравнение с одной переменной:
если в уравнении переносить одно из слагаемых с одной части уравнения в другую, при этом изменить его знак, то получим уравнение, равносильное данному;
если левую и правую часть в уравнении умножить или же разделить на одно и то же число, отличное от нуля, тогда получим уравнение, равносильное данному.
Используя диофантовые линейные уравнения с двумя неизвестными можно решать разного рода текстовые задачи, которые сводят к нахождению целых корней уравнения.
С целью изучения методов решения сразу рассмотрим формулу общего решения и основные теоремы, и леммы:
Формула общего решения уравнения с двумя неизвестными
ax by = c (*)
Лемма 1: Пусть НОД (a, b)=d и c[-- Image: Frame1 --][-- Image: Frame1 --]d. Тогда уравнение (*) не имеет решений в целых числах.
Доказательство: Так как НОД (a, b) = d, то a [-- Image: Frame1 --][-- Image: Frame1 --] d и b [-- Image: Frame1 --][-- Image: Frame1 --] d, то есть a=da1, b=db1
ax by = ( da1) x (db1) y = d(a1x b1y) = c ? c[-- Image: Frame1 --][-- Image: Frame1 --]d
Рассмотрим пример: 25x 35y = 54, не имеет решения в целых числах
НОД (25, 35) = 5 и 54 [-- Image: Frame1 --][-- Image: Frame1 --] 5
20 страниц
73% уникальность
2015 год
114 просмотров
