Общепризнано, что теория множеств создана Георгом Кантором. Несмотря на то, что понятие множества не является строго определяемым понятием [1], с 1872 года по 1897 год(главным образом в 1872-1884 годах) он опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых)[2]. Именно ему мы обязаны, с одной стороны, главными, основными понятиями этих теорий и, с другой стороны, введением в математику рассуждений нового типа, которые он применил для доказательства основных теорем теории множеств.
На Work5 вы можете заказать диссертацию в Омске и быть уверенны в качестве.
. К тому времени аналогичные принципы уже считались общепринятыми и применялись математиками при рассмотрении конечных множеств, но именно Кантор первый явно и систематически применил их в теории бесконечных множеств. Идеи еготеории не только оказались полезными для существовавшей математики; они постепенно привели к созданию самостоятельной дисциплины–общей теории абстрактных множеств.
Проводившиеся Кантором исследования, относящиеся к тригонометрическим рядам и числовым последовательностям[2], привели его к задаче выяснения тех средств, которые необходимы для сравнения бесконечных множеств чисел по величине. Для решения этой проблемы Кантор ввел понятие мощности (или объема) множества, считая по определению, что два множества имеют одинаковуюмощность, если члены любого из них можно сопоставить членам другого, образовав пары соответствующих членов.
По-видимому, некоторые из его современников были смущены его результатами и не питали доверия к его доказательствам, однако они не могли обнаружить в его рассуждениях ни одной ошибки.
Около 1900 годабыло обнаружено, что рассуждения, казавшиеся сходными с рассуждениями Кантора, приводят к противоречию. В 1897 годуБурали-Фортиопубликовал парадокс наибольшего порядкового числа, известный как «парадокс Бурали-Форти». В 1903 годуРассел опубликовал еще более поразительный парадокс[1],который заключается в следующем. Пусть дано множество Cвсех множеств, не содержащих самих себя в качестве своего элемента. Тогда если Cне принадлежитC,то, по определениюC, Cпринадлежит C; если же CпринадлежитC,то, по определению C, Cне принадлежит C.
Некоторые математики заключили отсюда, что при рассмотрении множеств нельзя просто полагаться на интуицию,хотя множества являются фундаментальными понятиями для математики и человеческого мышления. Другие математики отвергают всю теорию множеств (в том числе и классический анализ), считая ее ошибочной и несостоятельной. Третья группа математиков, напротив, считает, что парадоксы не затрагивают теории множеств по той простой причине, что они возникают из-за определений и рассуждений, искажающих математическую интуицию и существенно отличающихся от правомочных методов, обычно применяемых в математике.
Какую бы из этих точек зрения ни принять, необходимо признать, что важной задачей является уточнение тех представлений, которые лежат в основе теории множеств, а также возможно более четкое выделение тех рассуждений, которые приводят к противоречиям. Аксиоматический метод, подобный приведенномув[3], является, по-видимому, особенно подходящим дляформализации теории множеств. И действительно, в эпоху, когда развивалась теория множеств, большой интерес вызывали аксиоматические системы геометрии и арифметики. Поэтому казалось вполне естественным попытаться построить системы аксиом для теории множеств.
Формальные аксиоматические теории
Для более точного представления математических теорий широко используются символы[4]. В формальных теориях символизация доведена до такой крайней степени, при которой никакие слова вообще не допускаются,они заменяются символами. Более того, в формальной теории символы воспринимаются просто как значки, с которыми обращаются согласно определенным правилам, зависящим лишь от формы выражений, образованных из символов. Таким образом, в отличие от обычного употребления символов в математике, символы в формальных теориях не заменяют собой никаких других объектов. И еще одна важнейшая отличительная черта формальных теорий состоит в том, что предполагаемая логическая система явным образом включается в теорию.
К формальным теориямобычно предъявляютеще дополнительные требования. Эти требования связаны с одним вспомогательным понятием, котороемыпрежде всего и опишем. Речь идет о понятииэффективной процедуры(или эффективного метода) –так мы будем называть совокупность предписаний, позволяющую чисто механическим путем в конечное число шагов получить ответ на любой вопрос из некоторого класса вопросов. Эффективная процедура–это нечто вроде рецепта, в котором указано, что именно надо делать на каждом шаге, причем для пользования таким рецептом не требуется никакой мыслительной работы. В принципе для выполнения такого рода предписаний всегда можно построить специальную машину.
Формальные теории, которыездесь рассмотрены, – это аксиоматические теории. Формулы в такой теории представляют собой определенного рода строчки(то естьконечные последовательности) символов.
0 страниц
100% уникальность
2012 год
59 просмотров
