Методы решения системных уравнений

Решение и исследование систем линейных уравнений – это одна из тех математических проблем, в которой имеется широкое поле деятельности для всех, кто занимается математикой. При изучении систем линейных уравнений многие знакомятся с некоторыми практическими задачами, решение которых требует составления и решения систем уравнений. К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач, как: • Некоторые задачи механики, которые связанны с расчетом колонн, фундаментов, арок и других сооружений. • Задачи из области геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки; системы, которые получаются здесь содержат большое число неизвестных, исчисляющиеся часто несколькими сотнями. • Системы линейных уравнений – это основной аппарат при нахождении значений коэффициентов в эмпирических формулах. • Многие задачи приближенного решения уравнений, которые имеют огромное распространение в высшей математике. • Системы линейных уравнений также широко используются в новейших областях физики и смежных с ней наук.

---

Большинство студентов не знают где заказать написание дипломной работы по торговле. А мы вам подскажем! Заказывайте диплом в Work5!

---

. Например, в томной физике, теории относительности, при составлении прогнозов погоды. Все перечисленные задачи не исчерпывают всех случаев использования систем линейных уравнений, но показывают, насколько часто сталкиваются при решении задач математики и естествознания с необходимостью исследовать и приближенно или точно решить систему линейных уравнений. Вот почему будущим специалистам многих профессий необходимо ознакомиться с элементами теории систем линейных уравнений.

При решении различных математических задач с помощью численных методов нужно научиться различать свойства самой задачи и свойства вычислительного алгоритма, который предназначен для определения её решения. Говорят, что задача поставлена корректно, если решение существует и единственно и если оно непрерывно зависит от входных данных. Свойство непрерывной зависимости от входных данных также называется устойчивостью относительно входных данных. Однако корректность исходной математической задачи еще не гарантирует хороших свойств численного метода ее решений. Она также требует специального исследования. Известно, что решение задачи существует тогда и только тогда, когда . В этом случае можно определить обратную матрицу и решение записать в виде . Для исследования устойчивости задачи, необходимо исследовать зависимость ее решения от правых частей и элементов матрицы А. Чтобы рассматривать непрерывную зависимость вектора решений от некоторых параметров, нужно на множестве - мерных векторов, которые принадлежат линейному пространству H, ввести метрику. В линейной алгебре предлагается определение множества метрик ? норма из которого очень легко получить самые часто используемые метрики при р=1, , при , , при , . Подчиненные нормы матриц определяемые как , соответственно представляются следующим образом: , , . Обычно рассматривают два вида устойчивости решения системы: один ? по правым частям, другой ? по коэффициентам системы и по правым частям.. Вместе с исходной системой можно рассмотреть систему с «возмущенными» правыми частями , где ? возмущенная правая часть системы, а возмущенное решение. Также можно получить некоторую оценку, которая выражает зависимость относительной погрешности решения от относительной погрешности правых частей , где ? число обусловленности матрицы А ( в современной литературе это число обозначают как ) Если это число обусловленности большое ( ? ), то говорят, что матрица А плохо обусловлена. В этом случае малые возмущения правых частей системы, которые вызваны либо неточностью задания исходных данных, либо погрешностями вычисления могут существенно влиять на решение системы. В итоге, если погрешность правых частей , то погрешность решения будет . Если возмущение внесено в матрицу А, то для относительных возмущений решения запишем .

Список используемой литературы 1. Маргулис Б.Е. Системы линейных уравнений. – М.: Госдарственное издательство физико-математической литераутры, 1960. – 97 с. 2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. – М.: Наука, 1986. 3. Воеводин В.В. Матрицы и вычисления/В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. – М.: Наука, 1984. –320 с. 4. Бахвалов Н.С. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. специальностей вузов/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – 2 изд. М.: Физматлит: Лаб. Базовых Знаний; СПб.: Нев. Диалект, 2001. – 630 с. 5. Ильин В.А. Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984. 6. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: «Наука» главная редакция физико-математической литературы, 1989. – 432 с. 7. Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры: Учеб. пособие для студентов вузов/ Д.К.Фаддеев, В.Н.Фадеева. 3 изд.,стер. – СПб.: лань, 2002. –733 с. 8. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. –М.: Наука, 1977. – 304 с. 9. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. – новосибирск: Издательство «Наука» Сибирское отделение, 1980. – 179 с. 10. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов/Ф.И.Плис, Н.А. Сливина. – 2-е изд., перераб и доп. – М.: Высшая школа, 1994