Теория вероятностей и математическая статистика

2.В магазин поступает минеральная вода в бутылках от 2-х изготовителей: местного и иногороднего, причём местный поставляет 40% всей продукции. Вероятность того, что при транспортировке бутылка окажется раз¬битой, для местной 0,5%, а иногородней 2%. Какова вероятность того, что взятая наудачу бутылка окажется неразбитой. Какова ожидаемая доля (в %) разбитых бутылок.

3. (Задача Банаха). Спички в полной коробке отсырели и зажигаются с вероятностью 0,5. Друзья по очереди пы¬таются зажечь спичку. Какова вероятность того, что это удастся первым сделать первому?

4. В партии арбузов 80% спелых, остальные недоспелые. Наугад отобраны четыре арбуза. Какова вероятность того, что среди них: а) не менее 3-х спелых; б) не все спелые.

5. Вероятность появления события А в опыте равна 0,2. Опыт повторили независимым образом 400 раз. Какова вероятность того, что это событие А произойдёт: а) 70 раз; б) 80 раз; в) не менее 70, но не более 90 раз; г) не менее 78 раз; д) не более 78 раз.

Инвестор имеет возможность составить портфель из трех видов некоррелированных бумаг, эффективности Е, и риски ф которых даны в таблице. Рассмотрите все варианты составления портфеля из этих бумаг равными долями. Дать графическое изображение всех этих портфелей точками (по осям координат - эффективность, риск). Есть ли точки, оптимальные но Парето?

7. Изучение ежедневных изменений цен на двух финансовых рынках выявило следующее: Рынок 1 Рост цен Падение цен Рост цен 165 26 Падение цен 32 137 Рассчитайте вероятности: а) роста цен на рынке 1; б) роста цен на рынке 1 при условии, что цены на рынке 2 растут; в) роста цен на рынке 2 при условии, что цены на рынке 1 растут.

8. В таблице указано количество машин, которые «КТК» имеет в каждом из своих шести региональных отделе¬ний. Ниже показана среднемесячный отделений в 1997 г. Ньюкасл Саутгемптон Кардифф Данди Ланкастер Бирмингем Кол-во машин 30 40 35 38 50 47 Средний доход (100 тыс.ф.ст) 7,1 8 6,8 7,3 9,1 9,4 а) Вычислите коэффициент корреляции между количеством машин и месячным доходом отделений «КТК». Прокомментируйте значимость этого значения. б) определите уравнение регрессии, соотносящее эти две переменные, и с его помощью оцените среднеме¬сячный доход предлагаемого к открытию седьмого отделения с парком из 20 машин. Прокомментируйте при-годность данной оценки. Какие дополнительные факторы могут повлиять на точность и надежность такого рода прогнозов?

9. Компания утверждает, что новый вид зубной пасты для детей лучше предохраняет зубы от кариеса, чем зубные пасты, производимые другими фирмами. Для проверки эффекта в случайном порядке была отобрана группа из 400 детей, которые пользовались новым видом зубной пасты. Другая группа из 300 детей, также случайно выбранных, в это же время пользовалась другими видами зубной пасты, После окончания эксперимента было выяснено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из контрольной группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные основания для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты? Принять уровень значимости а = 0,05.

10. Врач-исследователь выясняет зависимость площади пораженной части легких у людей, заболевших эмфиземой легких, от числа лет курения. Статистические данные, собранные им в некоторой области, имеют следующий вид: Число лет курения 25 36 22 15 48 39 42 41 28 33 Площадь пораженной части легкого, % 55 60 50 30 75 70 70 55 30 35 Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при а = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Если человек курил 30 лет, то сделайте прогноз о степени поражения легких у случайно выбранного пациента, больного эмфиземой.