Полностью развитое течение в канале прямоугольного сечения

Механика жидкостей – это наука, изучающая реакцию жидкостей на действующие на них силы. Это раздел классической физики, имеющий большое значение в гидравлической и авиационной технике, химической инженерии, метеорологии и зоологии [2]. Основы гидродинамики были заложены в XVIII веке, когда математики, такие как Леонард Эйлер и Даниил Бернулли, начали исследовать последствия для практически непрерывной среды, такой как вода, динамических принципов, которые Ньютон провозгласил для систем, состоящих из дискретных частиц. Их работа была продолжена в XIX веке несколькими математиками и физиками первого ранга, в частности Д. Стоксом и У. Томсоном [4]. К концу столетия были найдены объяснения множеству интригующих явлений, связанных с течением воды через трубы и отверстия, волнами, которые корабли, движущиеся в воде, оставляют после себя, каплями дождя на оконных стеклах и т. д.

---

Близится подготовка к контрольной работе ? Не переживай, обратись в Work5.

---

Однако до сих пор не было должного понимания таких фундаментальных проблем, как проблема протекания воды мимо фиксированного препятствия и приложения к нему силы сопротивления. Теория потенциального потока, которая так хорошо работала в других контекстах, давала результаты, которые при относительно высоких расходах сильно расходились с экспериментом. Эта проблема не имела решения должным образом до 1904 года, когда немецкий физик Л. Прандтль представил концепцию пограничного слоя [5]. Карьера Прандтля началась в период, когда был разработан первый пилотируемый самолет. С тех пор течение воздуха представляет такой же интерес для физиков и инженеров, как течение воды, и, как следствие, гидродинамика превратилась в механику жидкости и газа. Еще один представитель XX-го века – это Д. Тейлор. Тейлор оставался классическим физиком, в то время как большинство его современников обращали свое внимание на проблемы атомной структуры и квантовой механики. Он сделал несколько неожиданных и важных открытий в области механики жидкости [7]. Богатство механики жидкости в значительной степени связано с нелинейным членом в основном уравнении движения жидкостей. Для систем, описываемых нелинейными уравнениями, характерно то, что при определенных условиях они становятся нестабильными и начинают вести себя таким образом, который на первый взгляд кажется полностью хаотическим. В случае жидкостей хаотическое поведение очень распространено и называется турбулентностью. Математики начали распознавать закономерности в хаосе, которые можно плодотворно анализировать, и это развитие предполагает, что механика жидкости останется областью активных исследований и в XXI веке. Потоки в каналах или каналах представляют интерес для науки, техники и повседневной жизни. Потоки в закрытых трубопроводах или каналах, таких как трубы или воздуховоды, полностью контактируют с жесткими границами [3]. Большинство закрытых трубопроводов в инженерном оборудовании имеют круглое или прямоугольное поперечное сечение. С другой стороны, потоки в открытом канале – это потоки, границы которых не полностью состоят из твердого и жесткого материала; другая часть границы таких потоков может быть другой жидкостью или вообще ничем. Важными потоками в открытом русле являются реки, приливные течения, оросительные каналы или водные покровы, бегущие по поверхности земли после дождя. Как в закрытых трубопроводах, так и в открытых каналах форма и площадь поперечного сечения течения могут изменяться вдоль потока. Такие потоки называются неоднородными. Течения, которые не изменяются по геометрии или характеристикам потока от одного поперечного сечения к другому поперечному сечению, называются однородными. Течения могут быть как постоянными, стационарными (не меняющимися со временем), так и неустойчивыми (меняющимися со временем). В настоящей курсовой работе рассматривается ламинарное течение жидкости в канале прямоугольного сечения. Цель работы – исследование характеристик течения в прямоугольном канале. Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи: • найти аналитическое выражение для определения скорости течения жидкости внутри канала прямоугольного сечения; • построить программу, позволяющею визуализировать аналитическое решение. Таким образом объектом исследования в настоящей работе является течение жидкости в канале прямоугольного сечения, а предметом исследования – распределение скорости течения жидкости в канале. В качестве методов исследования используются методы математической физики, а также численные методы. Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.  

В результате выполнения курсовой работы была решена задача о течении жидкости в канале прямоугольного сечения. Решение задачи можно представить в виде аналитического выражения, содержащего в себе бесконечный ряд. Были рассмотрены предельные случаи (плоскопараллельное течение Пуазейля), которые соответствуют ранее известным решениям. Разработан алгоритм и программа на языке программирования MATLAB для визуализации поля скорости. Из полученных картин распределений видно, что поле скорости принимает ожидаемый вид, с максимальным значением скорости в центре и нулевой скоростью на границах канала. В ходе работы над курсовым проектом был проведен анализ литературный источников. Все задачи, выдвинутые на работу, были решены, поставленная цель была достигнута. 

1. Дьяконов В. П. MATLAB 6.5/7.0 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. Библиотека профессионала. – М.: «СОЛОН-Пресс», 2005. – 576 с. 2. Кочин H.E. Теоретическая гидромеханика: в 2 ч. / H.E. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. – 6-е изд. – М.: Наука, 1963. – Ч.1. 3. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: в 10 т. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – 6-е изд. – М.: Наука, 2006. – Т. 6.: Гидродинамика. 4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. – М.: Дрофа, 2003. – 846 с. 5. Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика: в 2 т. / Л. Прандтль, Л. Титьенс. – М.; Л.: Наука, 1933. – 2 т. 6. Самарский, А.А. Введение в численные методы: учеб. Пособие для вузов / А.А. Самарский. – 5-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009. – 288с. 7. Седов Л.И. Механика сплошной среды: в 2 т. / Л.И. Седов. – 4-е изд. – М.: Наука, 1984. – 2 т. 8. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики / Л.И. Седов. – М.: Наука, 1980. 9. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1, 2 / К. Флетчер; пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 504 с. 10. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. М.: Изд-во МГУ, 1984. – 200 с. 11. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. – М.: Наука, 1974.