Модификации метода Ньютона для решения нелинейных уравнений.

Актуальность темы. Интерес к задаче поиска корней нелинейного уравнения с одним неизвестным появился много веков назад, однако не теряет свою актуальность и на сегодняшний день. В подавляющем большинстве случаев реализовать вычисление выражения в виде конечной формулы оказывается невозможным. Согласно теореме Абеля, даже для простейшего алгебраического уравнения пятой и более степеней нельзя найти точного решения. В таких случаях прибегают к тем или иным методам приближенного вычисления. Решение таких уравнений имеет широкое практическое применение в разделах физики, в частности, физических экспериментах, а также различных областях химии, биологии и других вопросах науки. В то же время развитие вычислительной техники неуклонно набирает обороты, инженерная практика постоянно сталкивается с задачами, которые требуют построения математической модели, а она, в свою очередь, решения математической задачи, которая может быть решена только с помощью численных методов. Такие методы, как правило, реализуются на ЭВМ. Поэтому важно уметь оценивать их качество и эффективность. Целью написания выпускной квалификационной работы является исследование модификаций метода Ньютона для решения нелинейных уравнений.

---

Многим интересно, как получить контрольные работы заказать их можно, если оформить заказ на сайте Work5.

---

. При написании работы были поставлены следующие задачи: 1. Изучить этапы решения нелинейных уравнений; 2. Представить характеристику метода Ньютона для решения нелинейных уравнений; 3. Выполнить исследование модификаций метода Ньютона; 4. Провести численные эксперименты в среде имитационного моделирования. Объект исследования – процесс решения нелинейных уравнений. Предмет исследования – методы решения нелинейных уравнений.

На сегодняшний день разработано множество методов приближенного решения нелинейных уравнений. Каждый такой метод рассматривается на определенном отрезке, и результатом вычисления является приближенное значение корня в зависимости от заданной допустимой погрешности. Самый простой способ для реализации и понимания является самым неэффективным с точки зрения скорости работы. Разумеется, каждую проблему мы пытаемся решить самым простым для понимая и затрате сил способом. Однако такой подход не всегда оказывается эффективным, в особенности для IT специалистов, для которых он может стать даже критичным, так, мнимая простота реализации может увеличить время выполнения программы до непозволительных промежутков. В результате проведенного исследования установлено, что наилучшим методом, который показал хорошие результаты при решении нелинейного уравнения, является комбинированный метод. В результате написания работы были выполнены следующие задачи: 1. Изучены этапы решения нелинейных уравнений; 2. Представлено характеристику метода Ньютона для решения нелинейных уравнений; 3. Выполнено исследование модификаций метода Ньютона; 4. Проведены численные эксперименты в среде имитационного моделирования.

1. Бахвалов, Н. С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2016. - 240 c. 2. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. - М.: Лань, 2016. - 608 c. 3. Рено, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Рено. - М.: Книжный дом "Университет" (КДУ), 2018. - 958 c. 4. Метод Ньютона. Проблема области сходимости. Метод парабол. Совмещение методов Ньютона и парабол [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title (дата обращения: 27.04.2021). 5. Wu Xiaoxuan. Research on improved newton-type methods. Year: 2016 Issue: 2. 6. Campbell S. L. Singular system of differential equations. II. San-Francisco-L.- Melboum: Pitman Advanced Publ. Program., 2012. – 256 p. 7. Bergan P. G., Horrigmoe G., Krakeland B., Soreide T. H. Solution techniques for nonlinear finite element problems 11 Int. J. Num. Meth. Eng. 2018. V. 12. № 12. P. 1677-1696.