Нахождение экстремальной точки функции отклика симплексметодом (метод Нелдера-Мида)

Объектом исследования предмета математическое программирование являются задачи оптимизации. Оптимизация подразумевает нахождение наилучшего варианта среди всех существующих. В любой практической оптимизационной задаче существует много совпадающих этапов. Наиболее важным этапом является моделирование рассматриваемой физической ситуации с целью получения математической функции, которую необходимо минимизировать, а также определения ограничений, если таковые существуют. Затем следует выбрать подходящую процедуру для осуществления минимизации. Эта процедура должна быть реализована на практике, что во многих реальных случаях вынуждает использовать ЭВМ для выполнения большого объема вычислений. Универсальных методов, подходящих для поиска экстремума абсолютно любой функции не существует. Данная курсовая работа ставит себе целью исследовать метод оптимизации нулевого порядка – метод Нелдера-Мида, а также метод оптимизации первого порядка – градиентный метод с дроблением шага на примере конкретной функции. Таким образом, получив практические результаты, можно будет сравнить эффективность рассматриваемых методов, применяемых к исследуемой функции. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ( Вариант задания 1) Исследовать функцию типа : Используемые методы минимизации : 1.

---

Если вы не знаете, где заказать магистерскую диссертацию в спб . Воспользуйтесь сервисом Work5.

---

. Метод: Нелдера-Мида. 2. Метод: Градиентный с дроблением шага. Необходимо : 1. Решить задачу минимизации , начав итерации из выбранной начальной точки x0=(1;1) заданными по варианту методами, необходимая точность решения . Привести таблицу результатов расчета типа: Итерация: - точка: значение: критерий: . 2. Рассчитать 3 линии уровня функции и изобразить их на графике. 3. Отобразить на графиках линий уровня для каждого из заданных методов траекторию движения по итерациям (траекторию спуска). 4. Выявить зависимость числа итераций N от заданной точности E, значения точности: , , , , , . Привести таблицу результатов как в п.1 для каждого значения E. 5. Сравнить эффективность рассмотренных в варианте методов по числу итераций N, построить графики N=F(E).

В курсовой работе произведена минимизации функции с помощью метода оптимизации нулевого порядка – метода Нелдера-Мида и метода оптимизации первого порядка – градиентного метода с дроблением шага. В результате решения задачи минимизации с помощью метода Нелдера-Мида получено следующее значение функции: . Данный оптимум достигается в точке . Этот метод позволяет найти минимум (при начальной точке Х (1 ; 1)) за 29 итераций при точности решения . При этом параметр останова равен 0,0000921. В результате реализации градиентного метода минимальное значение функции составляет . Данный оптимум достигнут в точке . Этот метод позволяет найти минимум (при начальной точке Х(1;1)) за 1263 итерации при точности решения . При этом параметр останова равен 0,000099491. Для каждого из методов была установлена зависимость числа итераций от заданной точности . Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод о том, что по числу итераций более эффективным является метод Нелдера-Мида. Однако следует отметить, что эффективность этих методов может изменяться в зависимости от выбора начального приближения и вида функции. Следует также учесть, что градиентный метод может быть непригоден в тех случаях, если расчет производных вызывает затруднение.

1. Агуров П.В. C# в подлиннике (программирование на языке С#) – Петербург, 2006 – 412 с. 2. Агуров П.В. Сборник рецептов по C# - Петербург,2006 - 412 с. 3. Банди Б. Методы оптимизации – Москва, 1988 – 127 с. 4. Базара М, Шетти К. Нелинейное программироваине. Теория и алгоритмы – М.:Мир, 1988 – 583 с. 5. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983 – 384 с. 6. Раскин Л.Г. Математическое программирование: Учебное пособие – Харьков: НТУ «ХПИ» , 2002 – 125 с. 7. Рихтер Д. Программирование на платформе Microsoft. NET Freamework для профессионалов – М.Microsoft Press, 2003 – 512 с. 8. Серая О.В. Методические указания для проведения лабораторных работ по курсу «Математическое программирование» - Харьков: НТУ «ХПИ» , 2003 – 140 с. 9. Сухарев А.Г., Тимохов А.В Курс методов оптимизации – М.: Наука, 1986 – 374 с. 10. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование М.:Мир, 1989 – 536 с. 11. https://ru.wikipedia.org/wiki 12. https://intuit.ru/studies/courses/1020/188/lecture/4931?page=2