Системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений.

Системы однородных и неоднородных линейных уравнений и связанные с этими понятиями теоремы, в частности теорема Крамера и теорема Кронекера-Капелли, изучаются обычно в курсе линейной алгебры. Однако данная теория находит широкое применение, как в различных разделах математики, так и в её приложениях. Например, в аналитической геометрии совокупность всех решений системы двух не эквивалентных между собою однородных линейных уравнений есть одномерное векторное пространство.

---

Контрольная работа по истории на заказ поможет вам не тратить свое время. Контрольные на заказ - это недорогая услуга, с которой мы справляемся на ура.

---

. А множество решений совместной неоднородной системы из m линейных уравнений с n неизвестными ранга r трактуется как плоскость n-мерного пространства размерности p=n-r. Некоторые задачи в процессе решения сводятся к системе линейных уравнений. Например, задача об определении параметров эллипсоида, проходящего через три заданные точки, сводится к решению системы трех линейных уравнений после замены переменных. Цель данной работы: доказать основные теоремы теории систем линейных уравнений. Задачи: 1) дать определения основных понятий теории систем линейных уравнений; 2) сформулировать и доказать теорему Крамера и рассмотреть её применение при решении систем линейных уравнений; 3) сформулировать и доказать теорему Кронекера-Капелли, показать возможности её использования при решении систем линейных уравнений; 4) определить понятие фундаментальной системы уравнений. ?

В данной работе мы рассмотрели понятия системы линейных уравнений (СЛУ), в том числе однородной и неоднородной СЛУ, совместной и несовместной СЛУ, определенной и неопределенной СЛУ, решения СЛУ, фундаментальная система решений и др. Также в работе сформулированы и доказаны такие важные в теории систем линейных уравнений теоремы: теорема Кронекера-Капелли, теорема Крамера, теорема о фундаментальной системе решений. Обобщая теоретический материал, можно представить схему решения системы из m уравнений с n неизвестными представить в виде схемы (рисунок 1): Рисунок 1. Схема решения системы линейных уравнений Задачи, приводящие к решению систем линейных уравнений, встречаются в физике, химии, экономике и др. Например, в экономике рассматривается задача о прогнозе выпуска продукции: требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных характеристиках производства и запасов сырья каждого вида, необходимых для производства продукции. Еще одним примером использования СЛУ является задача согласования объемов производства каждой из отраслей многоотраслевой экономики, при которых удовлетворяются все потребности в продукте каждой отрасли.?

1. Алгебра и аналитическая геометрия.: В 2 ч. Ч. 2: для вузов. Для студентов мат. спец. ун-тов и пед. ин-тов / М.В. Милованов, М.М, Толкачев, Р.И. Тышкевич, А.С. Феденко. – Мн.: выш. Шк., 1987. – 269с. 2. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабженных решениями, составленного А.С. Пархоменко. - М.:Наука,1968. - 905c. 3. Бугров Я.С. Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. Т.1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии./ Я.С. Бугров, С.М. Никольский; Под ред. В.А. Садовничего. — М.: Дрофа, 2004. — 288 c. 4. Ильин В.А. Линейная алгебра: Учебн.: Для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 280с. 5. Кандомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 160с. 6. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 576с. 7. Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2006. – 224с. 8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный. – M.: Айрис-пресс, 2005. – 288с. 9. Умнов А.Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Учеб. Пособие: Для вузов. – М.Щ.: Издание ЗАО «Оптимизационные системы и технологии», 2004. – 368с. 10. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – М.: Высш. школа, 1998. – 479с. 11. Канатников А.Н. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] / А.Н. Ключевский, А.П. Крищенко – М., 2009. – URL: http://mathmod.bmstu.ru/Docs/Eduwork/ag/AG14.pdf (дата обращения 26.12.15).