Теория три-тканей — новое направление в геометрии, связанное с изучением алгебраических свойств геометрических объектов и имеющее приложения в самых разных областях математики и физики.
Что же вообще такое геометрия тканей? Геометрия тканей – это раздел дифференциальной геометрии, в котором изучаются некоторые семейства линий и поверхностей – так называемые ткани (плоские, пространственные, многомерные).
Плоской р-тканью называют область плоскости, в которой задано семейств достаточно гладких линий со следующими свойствами:
1) через каждую точку области проходит точно по одной линии каждого семейства;
2) линии разных семейств имеют не более одной общей точки.
Рассмотрим простейший пример три-ткани — одномерную три-ткань, образованную тремя семействами линий на плоскости, а именно, двумя семействами координатных линий x = C1, y = C2 и семейством линий уровня f(x,y) = C3 гладкой функции f(x,y) (рис. 1).
Если вам необходимо заказать написание курсовой работы по праву. Обращайтесь в нашу компанию. Work5 уже более 15 лет помогаем студентам с написанием курсовых работ!
. Если через каждую точку пересечения линий из двух первых семейств проходит линия из третьего семейства, то тем самым на множестве действительных чисел задается алгебраическая операция — любым двум числам x, y ставится в соответствие число z = f(x,y). Алгебраические свойства данной операции (ассоциативность, наличие единицы и др.) оказываются в интересной взаимосвязи с геометрическими свойствами данного объекта. Понятие три-ткани естественным образом обобщается на случай трех семейств линий уровня на плоскости f1(x,y) = C1, f2(x,y) = C2, f3(x,y) = C3 (рис. 2) (где C1, C2,– семейство координатных линий C3 –гладкая функция), а также на случай много мерных тканей, образованных пересечением нескольких семейств p -мерных поверхностей на некотором многообразии.
[-- Image: Рисунок 1 --]
[-- Image: Рисунок 2 --]
рис. 1
рис. 2
Если рассмотреть на плоскости Q, отнесенной к декартовым координатам х, у, «общее» или «топологическое отображение»:
x*=fx,y, y*=gx,y, то можно поставить вопрос о геометрических свойствах «в малом», которые сохраняются при таких отображениях.
При этом удобно предполагать, что функции f, g в области ? плоскости являются аналитическими функциями вещественных переменных х, у и их функциональный определитель отличен от нуля:
?(x*,y*)?(x,y)?0
Тогда уравнения x*=fx,y, y*=gx,y, зададут обратимое однозначное и непрерывное отображение области ? или некоторой ее части на область ? плоскости Q. Такие «топологические отображения», конечно, не образуют группу Ли, и само их групповое свойство имеет ограниченный характер. Мы будем здесь рассматривать такие свойства фигур в малом, которые остаются неизменными при всех отображениях.
Пусть в области ? задано «семейство кривых» ?j:
ujx,y=uj=const ,
которое покрывает ? «простым образом», т. е. такое, что обе производные
?uj?x,?uj?y
нигде в ? не обращаются в нуль одновременно, и, что через каждую точку х, у области ? проходит точно однакривая семейства ?j. При этом будем предполагать функции ujx,y аналитическими в ?. Рассмотрим теперь в области ? три такие семейства: j = 1, 2, 3; при этом потребуем, чтобы функциональные определители
?(uj,uk)?(x,y)?0 (j,k=2,3;3,1;1,2)
нигде в ? не обращались в нуль, и (не независимо от предыдущего) чтобы две кривые различных семейств имели в ? не более одной общей точки. Описанный геометрический образ называется «криволинейной 3-тканью». При этом необходимо предполагать область ? «выпуклой» относительно криволинейной 3-ткани в том смысле, что каждая пересекающая ? кривая ткани имеет единственную непрерывную дугу, принадлежащую ?.
Инцидентностную структуру гладких k-тканей (то есть k семейств кривых или поверхностей) при k>2 начали изучать с точностью до локальных диффеоморфизмов еще в 20-х годах XX века В. Бляшке и его ученики ? Томсен, Рейдемейстер, Кнессер, затем Бол. Они первые заметили, что алгебраические свойства бинарной операции, определяемой инцидентностной структурой 3-ткани (по современной терминологии ? координатной квазигруппы 3-ткани), связаны с замыканием конфигураций определенного вида на многообразии ткани.
Например, если всякая лупа, главноизотопная координатной квазигруппе ткани, является коммутативной лупой, то на соответствующей ткани замыкаются конфигурации, названные впоследствии конфигурациями T (Томсена), и обратно: в случае ассоциативности замыкаются конфигурации R (Рейдемейстера); тождеству моноассоциативности (xx)x=x(xx) отвечает шестиугольная конфигурация H, и соответственно, класс тканей H.
Позже появились конфигурации и ткани Бола Bl, Br и Bm, которым отвечают, соответственно, левое, правое и среднее тождества Бола; ткани Муфанг M, на которых замыкаются конфигурации Бола всех трех типов; другие, более сложные конфигурации, тождества и соответствующие классы тканей.
Многомерные 3-ткани W(r,r,r), образованные тремя слоениями размерности r на гладком многообразии размерности 2r, в середине 30-х годов начал изучать С.С. Черн, который ввел на 3-ткани каконическую аффинную связность (позднее названную М. Киккавой связностью Черна) и охарактеризовал с помощью основных тензоров этой связности указанные выше основные классы тканей T,R,H.Новый этап развития теории многомерных тканей начался с работ М.А.Акивиса в 1969 года, в которых он обобщил ряд важнейших понятий теории групп Ли для произвольной локальной аналитической лупы, построил структурную теорию многомерных 3-тканей, ввел важнейшие классы тканей, описал их геометрическое строение и нашел их тензорные характеристики. Этот новый этап был подготовлен созданием мощного аппарата дифференциально-геометрических исследований Картана-Финикова-Лаптева-Васильева. С другой стороны, начиная с 50-х годов все более усиливается интерес математиков и физиков к неассоциативным лупам и нелиевым алгебрам. Кроме того оказывается, что теория тканей связана со многими классическими областями математики: классической дифференциальной геометрией, проективной и алгебраической геометрией, римановой геометрией и ее обобщениями, теорией расслоенных пространств, теорией функций и вариационным исчислением, аксиоматическим обоснованием проективной геометрии, с теорией дифференциальных уравнений и т.д. В результате, начиная с 70-х годов, появляется большой цикл работ, в первую очередь ? М.A. Акивиса, В.В. Гольдберга и их учеников, посвященных различным вопросам теории тканей.
Целью данной дипломной работы является исследование плоских треугольных 3-тканей методами математического анализа и дифференциальной геометрии.
Задачи исследования:
1. Определить кривизну плоской шестиугольной три-ткани с помощью функции ткани.
2. Изучить поведение ткани при конформном преобразовании.
70 страниц
100% уникальность
2013 год
116 просмотров
